最优化算法之模拟退火算法（SA）

编程小6 (3) 2024-04-20 15:12

Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说最优化算法之模拟退火算法（SA）,希望能够帮助你!!!。

一、爬山算法 ( Hill Climbing )

介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

二、模拟退火算法（SA）

1、退火的概念

在热力学上，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低；够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（亦即，退火）时，可“找到”最低能量状态：结晶。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」，quenching）时，会导致不是最低能态的非晶形。
如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。

似乎，大自然知道慢工出细活：缓缓降温，使得物体分子在每一温度时，能够有足够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可得到最低能态，系统最安稳。

2、模拟退火（Simulate Anneal）的概念

想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。
【总结】：

若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；
若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减 t 值的设定。

3、模拟退火算法伪代码

/* * J(y)：在状态y时的评价函数值 * Y(i)：表示当前状态 * Y(i+1)：表示新的状态 * r： 用于控制降温的快慢 * T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索 */
while( T > T_min )
{
　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; 

　　if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
        Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　else
　　{
        // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也
        if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
        Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　}
　　T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快
　　/* 　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值 　　*/
　　i ++ ;
}

4、模拟退火算法的步骤

1. 初始化温度T，初始解状态S，每个温度t下的迭代次数L；

2. 当k = 1，2，……，L时，进行3~6；

3. 对当前解进行变换得到新解S’（例如对某些解中的元素进行互换，置换）；

4. 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数；

5. 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/(KT))接受S′作为新的当前解(k为玻尔兹曼常数，数值为：K=1.3806505(24) × 10^-23 J/K）；

6. 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序；

7. 减小T，转到第2步，直到T小于初始设定的阈值。

5、模拟退火算法的优缺点

迭代搜索效率高，并且可以并行化；
算法中有一定概率接受比当前解较差的解，因此一定程度上可以跳出局部最优；
算法求得的解与初始解状态S无关，因此有一定的鲁棒性；
具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法。

6、模拟退火算法的demo

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ITERS 100 //迭代次数
#define T 100
#define T_min 1e-8
#define delta 0.98
#define INF 1e9

double x[ITERS];

double F(double x)
{
    return 1/4 * pow(x, 4) - 5/3 * pow(x, 3) + 3 * pow(x, 2) + 1;
}

void init()
{
    static std::mt19937 rng;
    static std::uniform_real_distribution<double> distribution(-2, 4);
    for (int i = 0; i < ITERS; i++)
    {
        x[i] = distribution(rng);
    }
}

double sa()
{
    double ans = INF;
    double t = T;
    while (t > T_min)
    {
        for (int i = 0; i < ITERS; i++)
        {   
            static std::mt19937 rng;
            static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0, 1);
            double f_old = F(x[i]);
            double temp_x = x[i] + (distribution(rng) * 2 - 1) * t;
            if (temp_x >= -2 && temp_x <= 4)
            {
                double f_new = F(temp_x);
                if (f_old > f_new)
                    x[i] = temp_x;
                else
                {
                    double p = exp((f_new - f_old) / t);
                    if (p > distribution(rng))
                        x[i] = temp_x;
                }
            }
        }
        t = t * delta;
    }
    for (int i = 0; i < ITERS; i++)
    {
        ans = min(ans, F(x[i]));
    }
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    cout << sa() << endl;
    system("pause");
    return 0;
}