矩阵行列式、秩、迹与范数的求解

方阵的行列式：把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。

det（A）:求方阵A所对应的行列式的值。

例一：验证det（A^-1）=1/det（A）

解答：

A =

1 2 3

5 3 8

3 5 1

>> det(inv(A))

ans =

0.0204

>> 1/det(A)

ans =

0.0204

矩阵的秩：矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。

rank（A）：求矩阵A的秩。

解答：

>> for n=3:20

r(n)=rank(magic(n));

end

bar(r)

grid on

axis([2,21,0,20])

>>

矩阵的迹：矩阵的迹等于矩阵对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

trace（A）:求矩阵的迹。

矩阵或向量的范数：用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

向量的3种常用范数：

（1） 向量1—范数：向量元素的绝对值之和。

（2） 向量2—范数：向量元素平方和的平方根；

（3） 向量∞--范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

在MATLAB中，求向量范数的函数为：

norm（V）或norm（V，2）计算向量V的2—范数；

norm（V，1）：计算向量V的1--范数；

norm（V，inf）：计算向量V的∞--范数。

矩阵的范数：

矩阵A的1--范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值；

矩阵A的2--范数：A’A矩阵的最大特征值的平方根；

矩阵A的∞--范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。

MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

例如：

x =

2 0 1

-1 1 0

-3 3 0

>> n=norm(x)

n =

4.7234

>> n=norm(x,1)

n =

6