数学建模差分方程模型_数学建模最小二乘法的求解过程

(4) 2024-08-24 17:12

Hi,大家好,我是编程小6,很荣幸遇见你,我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来,今天说一说
数学建模差分方程模型_数学建模最小二乘法的求解过程,希望能够帮助你!!!。

差分方程简介

适用对象

  • 事物发展有明显阶段性。
  • 如:生物周期、环境周期、经济周期

差分的形态

  • 一阶前向差分 Δ \Delta Δ x ( i ) = x ( i + 1 ) − x ( i ) x(i)=x(i+1)-x(i) x(i)=x(i+1)x(i)
  • 一阶后向差分 ∇ \nabla x ( i ) = x ( i ) − x ( i − 1 ) x(i)=x(i)-x(i-1) x(i)=x(i)x(i1)
  • 二阶差分 Δ 2 \Delta^2 Δ2 x ( i ) = x(i)= x(i)= Δ \Delta Δ x ( i + 1 ) − x(i+1)- x(i+1) Δ \Delta Δ x ( i ) x(i) x(i)= x ( i + 2 ) − 2 x ( i + 1 ) + x ( i ) x(i+2)-2x(i+1)+x(i) x(i+2)2x(i+1)+x(i)

差分方程的形态

  • 一阶差分方程 Δ \Delta Δ x ( i ) = f ( i , x ( i ) ) x(i)=f(i,x(i)) x(i)=f(i,x(i))
  • 二阶差分方程 Δ 2 \Delta^2 Δ2 x ( i ) = f ( i , x ( i ) , Δ x ( i ) ) x(i)=f(i,x(i),\Delta x(i)) x(i)=f(i,x(i),Δx(i))
  • 更一般的形态 F ( i , x ( i ) , x ( i + 1 ) , x ( i + 2 ) , . . . x ( i + k ) ) = 0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0

差分方程的解

  • F ( i , x ( i ) , x ( i + 1 ) , x ( i + 2 ) , . . . x ( i + k ) ) = 0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0
  • 若向量 x=(x(0),x(1),…x(n)) 让上面的方程成立,则次向量称为差分方程的一个解
  1. 一阶线性常系数差分方程 x ( i + 1 ) + a x ( i ) = b x(i+1)+ax(i)=b x(i+1)+ax(i)=b
    • 若a≠-1,0,则其通解为 x ( n ) x(n) x(n)=C ( − a ) n (-a)^n (a)n+ b / ( a + 1 ) b/(a+1) b/(a+1)
  2. 二阶线性常系数差分方程 x ( i + 2 ) + a x ( i + 1 ) + b x ( i ) = r x(i+2)+ax(i+1)+bx(i)=r x(i+2)+ax(i+1)+bx(i)=r
    • 若 r=0,有特解 x ∗ x^* x=0
    • 若 r≠0,且a+b+1≠0,有特解 x ∗ x^* x=r/(a+b+1)
      • 差分方程的特征方程 λ 2 λ^2 λ2 + a λ + b = 0 +aλ+b=0 +aλ+b=0 特征根 λ 1 λ_1 λ1 λ 2 λ_2 λ2
        数学建模差分方程模型_数学建模最小二乘法的求解过程_https://bianchenghao6.com/blog__第1张

差分方程的平衡点和稳定性

  • F ( i , x ( i ) , x ( i + 1 ) , x ( i + 2 ) , . . . x ( i + k ) ) = 0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0 F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0
  • 若有常数a使得F(i,a,a,a…a)=0,则a为差分方程平衡点
  • 若差分方程的任意解{x(n)}都满足
    lim ⁡ n → ∞ x ( n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{x(n)} nlimx(n)=a
    • 则称a是稳定的平衡点

差分方程方法建模-种群增长模型

只考虑出生和死亡

  • 假设第n个繁殖周期 果蝇总量为x(n)
  • 每个繁殖周期生育率r
  • 每个繁殖周期死亡率d
  • 相邻两个繁殖周期果蝇数量变化 x ( n + 1 ) − x ( n ) = r x ( n ) − d x ( n ) x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n) x(n+1)x(n)=rx(n)dx(n)
  • x ( n ) = x ( 0 ) ( 1 + r − d ) n x(n)=x(0)(1+r-d)^n x(n)=x(0)(1+rd)n
  • 用最小二乘法算出参数r和d
  • 但种群密度增加,增速会放缓,指数增长模型没有考虑环境,资源的限制

考虑资源受限的种群模型

  • 补充假设 a、d、p、q均为非负常数
  • 生育率r会随总数x(n)增加而减少
    • 设r为减函数 r(x)=a-bx
  • 死亡率d会随总数x(n)增加而增加
    • 设d为增函数d(x)=p+qx
  • x ( n + 1 ) = [ A − B x ( n ) ] ∗ x ( n ) x(n+1)=[A-Bx(n)]*x(n) x(n+1)=[ABx(n)]x(n)
    • A=1+a-p B=b+q
  • 观察模型可知,看A-Bx(n)与1的关系 存在临界值A-1/B
    • 果蝇数量少 x(n)<(A-1)/B 果蝇数量递增
    • 果蝇数量多 x(n)>(A-1)/B 果蝇数量递减

考虑年龄因素

  • 新增假设,出生后k个周期才能生育
  • 从n期到第n+1期新增个体数量,应由n-k个周期的总群总量决定
  • x ( n + 1 ) − x ( n ) = r ( 1 − d ) k x ( n − k ) − d x ( n ) x(n+1)-x(n)=r(1-d)^kx(n-k)-dx(n) x(n+1)x(n)=r(1d)kx(nk)dx(n)
  • 高阶线性差分方程,求解需要多个阶段的数据

考虑性别因素

  • 新增假设:种群中雌性比例为s
  • 从n期到第n+1期新增个体数量,应由n个周期雌性个体的数量决定
  • x ( n + 1 ) − x ( n ) = r ∗ s ∗ x ( n ) − d x ( n ) x(n+1)-x(n)=r*s*x(n)-dx(n) x(n+1)x(n)=rsx(n)dx(n)
  • r与s可做调节
  • 考虑雌性比例的意义:增加可调节项,更贴近现实

综合考虑年龄和性别因素

  • x ( n + 1 ) − x ( n ) = r ∗ s ( 1 − d ) k x ( n − k ) − d x ( n ) x(n+1)-x(n)=r*s(1-d)^kx(n-k)-dx(n) x(n+1)x(n)=rs(1d)kx(nk)dx(n)

考虑年龄结构的种群

  • 生物不同年龄死亡率不同,繁殖也不同。
  • 五年生河虾为例:成年虾直接孵化幼虾,幼虾一年后成年可产卵,五龄产卵之后当年死亡
  • 第n年幼虾、一~五龄虾的数量分别为 A(n),B(n),C(n),D(n),E(n),F(n);
  • 各年龄段活到下一段的比例 R 1 、 R 2 . . . R 5 R_1、R_2...R_5 R1R2...R5
  • 一到五龄产生幼虾的个数 S 1 、 S 2 . . . S 5 S_1、S_2...S_5 S1S2...S5
  • 不考虑虾的性别结构等
  • A ( n ) = S 1 B ( n − 1 ) + S 2 C ( n − 1 ) + S 3 D ( n − 1 ) + S 4 E ( n − 1 ) + S 5 F ( n − 1 ) A(n)=S_1B(n-1)+S_2C(n-1)+S_3D(n-1)+S_4E(n-1)+S_5F(n-1) A(n)=S1B(n1)+S2C(n1)+S3D(n1)+S4E(n1)+S5F(n1)
  • B ( n ) = R 1 A ( n − 1 ) B(n)=R_1A(n-1) B(n)=R1A(n1)
  • C ( n ) = R 2 B ( n − 1 ) C(n)=R_2B(n-1) C(n)=R2B(n1)
  • D ( n ) = R 3 C ( n − 1 ) D(n)=R_3C(n-1) D(n)=R3C(n1)
  • E ( n ) = R 4 D ( n − 1 ) E(n)=R_4D(n-1) E(n)=R4D(n1)
  • F ( n ) = R 5 E ( n − 1 ) F(n)=R_5E(n-1) F(n)=R5E(n1)
  • M = { O s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 R 1 O O O O O O R 2 O O O O O O R 3 O O O O O O R 4 O O O O O O R 5 O } M= \left\{ \begin{matrix} O & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 &s_5\\ R_1 & O & O & O & O & O\\ O & R_2 & O & O & O & O\\O & O & R_3 & O & O & O \\O & O & O & R_4 & O & O\\O & O & O & O & R_5 & O\end{matrix} \right\} M=OR1OOOOs1OR2OOOs2OOR3OOs3OOOR4Os4OOOOR5s5OOOOO
  • X ( n ) = { A ( n ) B ( n ) C ( n ) D ( n ) E ( n ) F ( n ) } X(n)= \left\{ \begin{matrix} A(n)\\ B(n)\\ C(n)\\D(n)\\E(n)\\F(n)\end{matrix} \right\} X(n)=A(n)B(n)C(n)D(n)E(n)F(n)
  • X ( N ) = M X ( n − 1 ) X(N)=MX(n-1) X(N)=MX(n1)
  • 多维状态转移方程,又称Leslie方程

考虑突发因素-脉冲情况

  • 新增假设:每p个周期种群会有μ比例的损失

  • x ( n + 1 ) − x ( n ) = r x ( n ) − d x ( n ) − T ( n ) μ ∗ x ( n ) x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n)-T(n)μ*x(n) x(n+1)x(n)=rx(n)dx(n)T(n)μx(n)

  • T ( n ) = { 1 , n = p k , k = 0 , 1.. 0 , 其 他 T(n)=\begin{cases}1, n=pk,k=0,1.. \\0, 其他\end{cases} T(n)={
    1,n=pk,k=0,1..0,

  • 灭鼠灭蟑通常控制不力导致的养殖出现问题

  • 新增假设改为:数量或密度达到M,会有μ比例的损失

  • x ( n + 1 ) − x ( n ) = r x ( n ) − d x ( n ) − S ( x ( n ) ) μ ∗ x ( n ) x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n)-S(x(n))μ*x(n) x(n+1)x(n)=rx(n)dx(n)S(x(n))μx(n)

  • S ( n ) = { 1 , x ( n ) > = M 0 , x ( n ) < = M S(n)=\begin{cases}1, x(n)>=M \\0, x(n)<=M\end{cases} S(n)={
    1,x(n)>=M0,x(n)<=M

  • 比如根绝数量或密度状况灭鼠

兼顾时间和空间维度

  • 用于替代偏微方程组
  • 污染物的扩散模型

差分方程稳定性建模

  • x ( k + 1 ) = f ( x ( k ) ) x(k+1)=f(x(k)) x(k+1)=f(x(k)) k趋近于无穷大

平衡点及其稳定性判断准则

  • 差分方程x(k+1)=ax(k)+b
    • 平衡点:b/(1-a)
    • 稳定条件:|a|<1
  • 差分方程x(k+1)=f(x(k))
    • 平衡点:x=f(x) 的解 x ∗ x^* x
    • 稳定条件:| f ′ ( x ∗ ) f'(x^*) f(x)|<1
  • 二阶线性差分方程 x ( k + 2 ) + a 1 x ( k + 1 ) + a 2 x ( k ) = b x(k+2)+a_1x(k+1)+a_2x(k)=b x(k+2)+a1x(k+1)+a2x(k)=b
  • 数学建模差分方程模型_数学建模最小二乘法的求解过程_https://bianchenghao6.com/blog__第2张

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