线性空间子空间的定义_构成线性空间的八个条件

(1) 2024-06-20 08:23

Hi,大家好,我是编程小6,很荣幸遇见你,我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来,今天说一说
线性空间子空间的定义_构成线性空间的八个条件,希望能够帮助你!!!。

文章目录

    • 1.线性空间
      • 1.1 线性空间的定义
      • 1.2 线性空间的性质
      • 1.3 线性空间的维数
      • 1.4 线性空间的基
      • 1.5 基变换与坐标变换
        • 1.5.1 基变换:
        • 1.5.2 坐标变换:
    • 2. 线性子空间
      • 2.1 定义
      • 2.2 性质
      • 2.3 子空间的运算
        • 2.3.1 和空间
        • 2.3.2 交空间
    • 3. 矩阵的值域、核空间
      • 3.1 向量张成的空间
      • 3.2 矩阵的值域
      • 3.3 矩阵的核空间

1.线性空间

1.1 线性空间的定义

设非空集合 V V V,一个数域 K K K x , y , z ∈ V x,y,z \in V x,y,zV k , l ∈ K k,l\in K k,lK,如果 V V V满足加法封闭和数乘封闭,则称 V V V为线性空间。

  1. 加法封闭: 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。
  2. 数乘封闭: 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

1.2 线性空间的性质

  1. 零元素唯一
  2. 任一元素的负元素唯一
  3. 设 数 k , 0 , 1 ∈ K k,0,1\in K k,0,1K,向量 x , 0 , − x ∈ V x, 0, -x \in V x,0,xV,有:
    • 0 x = 0 0x=0 0x=0
    • ( − 1 ) x = − x (-1)x=-x (1)x=x
    • k 0 = 0 k0=0 k0=0
    • k x = 0 kx=0 kx=0, 则 k = 0 k=0 k=0 x = 0 x=0 x=0

1.3 线性空间的维数

线性空间 V V V线性无关向量组所含向量最大个数 n n n,称为 V V V的维数,记作 d i m V = n dimV = n dimV=n

n n n 维线性空间记作 V n V^n Vn

1.4 线性空间的基

n n n维线性空间中,任意 n n n个线性无关的向量 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn,构成该空间的一组。这n个线性无关的向量称作基向量

空间中任意一个向量 x x x 可由这组基唯一表示,即 x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n x=a1x1+a2x2+...+anxn
此时,称 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an x x x 在该基下的坐标,记为 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T

向量 x x x在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 下的矩阵表示为
x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} x=[x1x2...xn]a1a2...an

1.5 基变换与坐标变换

1.5.1 基变换:

x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 是 空间 V n V^n Vn 的旧基, y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn 是新基。新基可以用旧基表示为
[ y 1 y 2 . . . y n ] = [ x 1 x 2 . . . x n l i a n g g e ] ⋅ C n × n \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n} [y1y2...yn]=[x1x2...xnliangge]Cn×n
其中,矩阵 C n × n C_{n×n} Cn×n为 (旧基到新基的) 过渡矩阵

1.5.2 坐标变换:

向量 x x x在旧基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的矩阵表示:
(1) x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1} x=[x1x2...xn]a1a2...an(1)
其中 , [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T x x x 在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的坐标。

向量 x x x在新基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的矩阵表示:
(2) x = [ y 1 y 2 . . . y n ] ⋅ [ b 1 b 2 . . . b n ] x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2} x=[y1y2...yn]b1b2...bn(2)
其中 , [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] T [b_1, b_2, ..., b_n]^T [b1,b2,...,bn]T x x x 在基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的坐标。
由式(1)=式(2),得
[ b 1 b 2 . . . b n ] = C − 1 ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} b1b2...bn=C1a1a2...an
称作 向量 x x x在基变换C下的坐标变换公式

个人理解

  1. 对线性空间作变换,也就是对线性空间的基做变换。(这是因为,线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示,即一组基可决定一个空间。但是,一个空间可对应不同的多组基)
  2. 线性空间中的一个向量本身是不变的,但对基作变换后,基改变,从而基下的坐标改变,称为坐标变换,即,同一向量在不同基下的表示是不同的。

2. 线性子空间

2.1 定义

V 1 V_1 V1是线性空间 V V V的非空子集和, V 1 V_1 V1中满足数乘封闭和加法封闭,则称 V 1 V_1 V1 V V V线性子空间子空间

个人理解:三维空间中的一个过原点的二维平面,或一条过原点的直线,都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

2.2 性质

  • 线性子空间也是线性空间。(定义中满足数乘、加法封闭,即线性子空间首先要是线性的
  • 非零线性空间的平凡子空间:线性空间自身以及零空间he。
  • 一个线性空间的子空间,其维数小于等于线性空间的维数(显然)。

延伸:n元齐次线性方程组的解空间 W W W n n n维向量空间 V n V^n Vn 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

2.3 子空间的运算

2.3.1 和空间

V 1 + V 2 = { x 1 + x 2   ∣   x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \} V1+V2={
x1+x2  x1V1,x2V2}

2.3.2 交空间

V 1 ∩ V 2 = { a   ∣   a ∈ V 1 且 a ∈ V 2 } V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \} V1V2={
a  aV1aV2}


3. 矩阵的值域、核空间

3.1 向量张成的空间

x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn张成的空间,记为
V 1 = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = { k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k n x n } V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \} V1=L(x1,x2,...,xn)={
k1x1+k2x2+...+knxn}
其中 k i k_i ki为常数。

个人理解:类似以向量组为基所生成的空间。

3.2 矩阵的值域

矩阵 A ∈ C m × n A\in C^{m×n} ACm×n n n n 个列向量为 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an,则矩阵A的值域为 R ( A ) = L ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = { y   ∣   y = A x } R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \} R(A)=L(a1,a2,...,an)={
y  y=Ax}

个人理解:矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间
若把 A A A 看作一种线性变换,那么矩阵的值域 y = A x y=Ax y=Ax 为线性空间中的原向量 x x x 经线性变换后所得到的象。

3.3 矩阵的核空间

N ( A ) = { x   ∣   A x = 0 } N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \} N(A)={
x  Ax=0}

核空间也叫零空间,零空间的维数为零度,记作 n ( A ) n(A) n(A)

个人理解:使 A x = 0 Ax=0 Ax=0 成立的 x x x
若把 A A A 看作一种线性变换, 那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量(原象)。

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