Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说
线性空间子空间的定义_构成线性空间的八个条件,希望能够帮助你!!!。

1.线性空间

1.1 线性空间的定义

设非空集合$V$，一个数域$K$，$x,y,z\in V$， $k,l\in K$，如果$V$满足加法封闭和数乘封闭，则称$V$为线性空间。

1. 加法封闭： 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。
2. 数乘封闭： 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

1.2 线性空间的性质

1. 零元素唯一
2. 任一元素的负元素唯一
3. 设 数$k,0,1\in K$，向量$x,0,-x\in V$，有：
   • $0x=0$
   • $(-1)x=-x$
   • $k0=0$
   • 若 $kx=0$, 则 $k=0$ 或 $x=0$

1.3 线性空间的维数

线性空间$V$中线性无关向量组所含向量最大个数$n$，称为$V$的维数，记作 $dimV=n$。

$n$ 维线性空间记作$V^n$。

1.4 线性空间的基

$n$维线性空间中，任意$n$个线性无关的向量 $x_1,x_2,...,x_n$，构成该空间的一组基。这n个线性无关的向量称作基向量。

空间中任意一个向量 $x$ 可由这组基唯一表示，即 $x=a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n$ 。
此时，称 $a_1,a_2,...,a_n$ 为 $x$ 在该基下的坐标，记为$[a_1,a_2,...,a_n{]}^T$。

向量$x$在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的矩阵表示为：
$$x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ...& x_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]$$

1.5 基变换与坐标变换

1.5.1 基变换：

设 $x_1,x_2,...,x_n$ 是 空间$V^n$ 的旧基，$y_1,y_2,...,y_n$ 是新基。新基可以用旧基表示为
$$\left[\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& ...& y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ...& x_{n}liangge\end{array}\right]\cdot C_{n\times n}$$
其中，矩阵$C_{n\times n}$为 (旧基到新基的) 过渡矩阵。

1.5.2 坐标变换：

向量$x$在旧基 $x_1,x_2,...,x_n$下的矩阵表示：
$$x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ...& x_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 ，$[a_1,a_2,...,a_n{]}^T$为 $x$ 在基 $x_1,x_2,...,x_n$下的坐标。

向量$x$在新基$y_1,y_2,...,y_n$下的矩阵表示：
$$x=\left[\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& ...& y_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中 ，$[b_1,b_2,...,b_n{]}^T$为 $x$ 在基 $y_1,y_2,...,y_n$下的坐标。
由式(1)=式(2)，得
$$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]=C^{-1}\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]$$
称作 向量$x$在基变换C下的坐标变换公式。

个人理解：

1. 对线性空间作变换，也就是对线性空间的基做变换。（这是因为，线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示，即一组基可决定一个空间。但是，一个空间可对应不同的多组基）
2. 线性空间中的一个向量本身是不变的，但对基作变换后，基改变，从而基下的坐标改变，称为坐标变换，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。

2. 线性子空间

2.1 定义

$V_1$是线性空间$V$的非空子集和，$V_1$中满足数乘封闭和加法封闭，则称$V_1$是$V$的线性子空间或子空间。

个人理解：三维空间中的一个过原点的二维平面，或一条过原点的直线，都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

2.2 性质

• 线性子空间也是线性空间。（定义中满足数乘、加法封闭，即线性子空间首先要是线性的）
• 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身以及零空间he。
• 一个线性空间的子空间，其维数小于等于线性空间的维数（显然）。

延伸：n元齐次线性方程组的解空间 $W$ 是 $n$维向量空间 $V^n$ 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

2.3 子空间的运算

2.3.1 和空间

V 1 + V 2 = { x 1 + x 2   ∣   x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \} V1​+V2​={
x1​+x2​ ∣ x1​∈V1​,x2​∈V2​}

2.3.2 交空间

V 1 ∩ V 2 = { a   ∣   a ∈ V 1 且 a ∈ V 2 } V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \} V1​∩V2​={
a ∣ a∈V1​且a∈V2​}

3. 矩阵的值域、核空间

3.1 向量张成的空间

$x_1,x_2,...,x_n$张成的空间，记为
V 1 = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = { k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k n x n } V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \} V1​=L(x1​,x2​,...,xn​)={
k1​x1​+k2​x2​+...+kn​xn​}其中$k_i$为常数。

个人理解：类似以向量组为基所生成的空间。

3.2 矩阵的值域

矩阵 $A\in C^{m\times n}$的 $n$ 个列向量为 $a_1,a_2,...,a_n$，则矩阵A的值域为 R ( A ) = L ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = { y   ∣   y = A x } R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \} R(A)=L(a1​,a2​,...,an​)={
y ∣ y=Ax}

个人理解：矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间。
若把 $A$ 看作一种线性变换，那么矩阵的值域 $y=Ax$ 为线性空间中的原向量 $x$ 经线性变换后所得到的象。

3.3 矩阵的核空间

N ( A ) = { x   ∣   A x = 0 } N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \} N(A)={
x ∣ Ax=0}
核空间也叫零空间，零空间的维数为零度，记作 $n(A)$ 。

个人理解：使 $Ax=0$ 成立的 $x$。
若把 $A$ 看作一种线性变换， 那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量（原象）。

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