Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说二分图匹配算法_能岗匹配原理的含义和内容,希望能够帮助你!!!。

上一篇文章讲了二分图匹配的缘起，这篇文章就讲讲二分图匹配的算法详解

二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 
设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y中，则称图G为二分图。

图1

二分图的性质
定理：当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时，G才是一个二分图。如果无回路，相当于任一回路的次数为0，故也视为二分图。

二分图的判定
如果一个图是连通的，可以用如下的方法判定是否是二分图： 

• 在图中任选一顶点v，定义其距离标号为0，然后把它的邻接点的距离标号均设为1，接着把所有标号为1的邻接点均标号为2（如果该点未标号的话），如图所示，以此类推。 
• 标号过程可以用一次BFS实现。标号后，所有标号为奇数的点归为X部，标号为偶数的点归为Y部。 
• 接下来，二分图的判定就是依次检查每条边，看两个端点是否是一个在X部，一个在Y部。 

如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。 

二分图的匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。 

最大匹配：选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem) 。
完全匹配：如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联。

可以把图1中X（黄色）看成打车的人，Y（黑色）看成司机，黄的和黑的之间可以有连接，也就是可以做匹配。实际生活中，一个点可能只和很少数量的对面节点有连接。比如如果我们把接单的范围限制在5公里以内，尽管北京市有10万辆车在跑，和你能产生连接的可能只有七八辆。 

在二分图中，黄黑节点之间没有直接的关系。图中的每一条连线都可以有一个权重，通常在各个应用中，它们是设计出来的成本函数，或者利润函数。这个函数的设计就体现各个公司的领域知识了。

二分图的最大匹配算法，它满足两个条件：第一是保证节点数量少的一边所有节点都有匹配，第二是让整个网络中找到的匹配权重达到最大。

增广路径

增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。 
增广路径是一条“交错轨”。也就是说，它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有...最后一条边没有参与匹配，并且起点和终点还没有被选择过，这样交错进行。显然P有奇数条边

增广路径性质：

1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
2. P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M。
3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
    

匈牙利算法

用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) 
算法轮廓：

1. 置M为空
2. 找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
3. 重复2操作直到找不出增广路径为止

算法详细步骤可参考：用于二分图匹配的匈牙利算法

还是不太理解该算法的话，可以参考：趣写算法系列之--匈牙利算法，视频：SWPU-ACM每周算法讲堂-匈牙利算法

算法实现

操作实质：当前的匹配对象与上一步的匹配对象相同时，回溯上一步能否换另一个匹配对象，若不能换，则不换，反之换；即能妥协就妥协，不能妥协坚决不妥协；

下面算法实现以ACM二分图匹配 HDU2063为例：

/*
运行方法：将本代码复制保存为testjs，然后运行node test.js
将输入的数据转化为关系数组，行表示男士，列表示女生，1表示有关系
    1 1
    1 2
    1 3
    2 1
    2 3
    3 1
*/
var data = [
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1],
    [1, 0, 0]
];


var used = [];  //记录是否访问过
var match = []; //记录匹配情况

function find(x) {
    for (var i = 0; i < data[x].length; i++) {
        if (data[x][i] == 1 && !used[i]) {  //如果x对i有好感且在这一个递归选取阶段没有被搜索过
            used[i] = 1;        //标记为搜索过
            if ((match[i] == -1) || (find(match[i]) == 1)) {    //未被匹配过或能找到一条增广路（他的归属者可以选择其它被选者）
                match[i] = x;   //匹配i,x(将归属定位x)
                console.log(x + 1, '->', i + 1);
                return 1;       //能找到新的匹配
            }
        }
    }
    return 0;
}

function hungarian() {
    //初始化match
    for(var n = 0; n < data.length; match[n++] = -1);

    var m = 0;
    for (i = 0; i < data.length; i++) {
        if (match[i] == -1) {
            used = [];
            console.log('开始匹配:', i + 1);
            m += find(i)
        }
    }
    console.log('匹配数：' + m);
    return m;
}

hungarian();

时空分析

时间复杂度： 
找一次增广路径的时间为： 

• 邻接矩阵： O(n^2)
• 邻接表：O(n+m)

总时间： 

• 邻接矩阵：O(n^3)
• 邻接表：O(nm)

空间复杂度： 

• 邻接矩阵：O(n^2)
• 邻接表： O(m+n)
   

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