Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说
矩阵乘向量对矩阵求导_向量对矩阵求导,希望能够帮助你!!!。

矩阵，向量求导(Matrix calculus)

Not to be confused with geometric calculus or vector calculus.

0.约定

• 标量用$x,y$小写字母表示。
• 向量用$\mathbf{x},\mathbf{y}$小写粗体字母表示。（默认为列向量${\mathbf{x}}_{[n\ast 1]}$，$n$维；${\mathbf{y}}_{[m\ast 1]}$，$m$维）。
• 矩阵用$\mathbf{X}，\mathbf{Y},\mathbf{A}$大写粗体字母表示。可能表示$m\ast n$维，也可能是$n\ast m$维，也可能是$p\ast q$维度。

1.目标

• 理清标量，向量和矩阵之间的求导关系。

  

2.完整的求导表格

完整表格

表格中的向量均表示列向量！

1.布局说明

前提说明：若$x$为向量，则默认$x$为列向量，$x^T$为行向量。

分子布局（Numerator-layout）

• 分子布局： 分子列向量 $y$，分母为行向量$x^T$ (即，分子为列向量或者分母为行向量)。

分母布局（Denominator-layout）

• 分母布局： 分子为行向量$y^T$，分母为 列向量$x$ (即，分子为行向量或者分母为列向量)。

注意：可以各选择一种布局来求导，但是对于某一种求导类型，不能同时使用分子布局和分母布局求导

2.举个例子

分子布局例子

说明：上述公式依次表示在分子布局下，$\frac{标量}{向量}，\frac{向量}{标量}，\frac{向量}{向量}，\frac{标量}{矩阵},\frac{矩阵}{标量}$。

• 其中$\mathbf{y}$是列向量（$n\ast 1$），$\mathbf{x}$是列向量（$m\ast 1$），$\mathbf{X}$是矩阵（$p\ast q$），$Y$是矩阵（$m\ast n$）。

1. 标量/向量（分母是向量，且是分子布局，则把分母的向量按照行向量铺开）
2. 向量/标量:（分子是向量，且是分子布局，则把分子按照列向量铺开）
3. 向量/向量：（分子分母都是向量，且是分子布局，则分子向量按照列向量铺开，分母向量按照行向量铺开）【雅克比式】
4. 标量/矩阵（分子布局下，$\mathbf{X}$矩阵是转置后铺开的）
5. 矩阵/标量（分子布局下，$\mathbf{Y}$矩阵是原型铺开）

分母布局例子

说明：上述公式依次表示在分母布局下，$\frac{标量}{向量}，\frac{向量}{标量}，\frac{向量}{向量}，\frac{标量}{矩阵}$。

• 其中$\mathbf{y}$是列向量（$n\ast 1$），$\mathbf{x}$是列向量（$m\ast 1$），$\mathbf{X}$是矩阵（$p\ast q$）
• 分母中没有$\frac{矩阵}{标量}$。

1. 标量/向量（分母是向量，且是分母布局，则把分母的向量按照列向量铺开）
2. 向量/标量:（分子是向量，且是分母布局，则把分子按照行向量铺开）
3. 向量/向量：（分子分母都是向量，且是分母布局，则分子向量按照行向量铺开，分母向量按照列向量铺开）【梯度矩阵】
4. 标量/矩阵（分母布局下，X矩阵无需转置，就是原始矩阵）

3.表格细化

• 实际操作时可以参考以下。

1.Vector-by-vector

2.Scalar-by-vector

3.Vector-by-scalar

4.Scalar-by-matrix

• 直接维基https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus

5.Matrix-by-scalar

• 直接维基https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus

6.Scalar-by-scalar

• 直接维基https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus

3.实际操作

• 参考自：https://blog.csdn.net/nomadlx53/article/details/

举一个线性模型的例子

$$\frac{\partial (y-Xw{)}^T(y-Xw)}{\partial w}$$

$w,y$均为列向量，$w$为$(n\ast 1)$,$y$为$(m\ast 1)$；$X$为矩阵，为$(m\ast n)$.

• 分析：该式属于$\frac{标量}{向量}$，目标是得出结果为列向量，所以更加上述的总表，整体采用分母布局。

• 展开
  $$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial w}(y^T-w^T{X}^T)(y-Xw)=\frac{\partial }{\partial w}(y^{T}y-y^{T}Xw-w^T{X}^{T}y+w^T{X}^{T}Xw) \\ =\frac{\partial }{\partial w}(y^{T}y)-\frac{\partial }{\partial w}(y^{T}Xw)-\frac{\partial }{\partial w}(w^T{X}^{T}y)+\frac{\partial }{\partial w}(w^T{X}^{T}Xw) \end{gathered}$$

  1. $\frac{\partial }{\partial w}(y^{T}y)$
     • 查上述的Scalar-by-vector identities，在表格中匹配形式到第1行的位置，因为分母为列向量，因此为分母布局，对应的求导结果就是 $0$ 。
  2. $\frac{\partial }{\partial w}(y^{T}Xw)$
     • 查上述的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第11行的位置，对应的求导结果是$X^{T}y$。
  3. $\frac{\partial }{\partial w}(w^T{X}^{T}y)$
     • 查上述的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第10行的位置，对应的求导结果是$X^{T}y$。
  4. $\frac{\partial }{\partial w}(w^T{X}^{T}Xw)$
     • 查上述的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第13行的位置，对应的结果为$2X^{T}Xw$。

• 合并：
  $$\frac{\partial (y-Xw{)}^T(y-Xw)}{\partial w}=0-X^{T}y-X^{T}y+2X^{T}Xw=-2X^T(y-Xw)=2X^T(Xw-y)$$

4.习惯上使用混合布局

• 向量均以列向量表示。

• $\frac{标量}{向量},\frac{标量}{矩阵}$使用分母布局，保证求导完之后结果是列向量。

• $\frac{向量}{标量},\frac{矩阵}{标量}$使用分子布局，保证求导完之后结果是列向量。

• $\frac{向量}{向量}$使用雅克比式（Jaocibian）。

• 总结

  • 矢量（向量或矩阵）在分子上，标量在分母上，采用分子布局
  • 矢量（向量或矩阵）在分母上，标量在分子上，采用分母布局
  • 向量在分子上，也在分母上使用雅克比式（Jaocibian）。

  

  说明，$\mathbf{y}$是(m*1)的列向量，$\mathbf{x}$是(n*1)的列向量，$\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}$的结果是(m*n)大小的矩阵。

• 详细参见：https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html

  

矩阵向量求导的链式法则

1. 一般步骤

1. 按照标量的链式法则写出链式关系。（预想布局方式（采用一种））
2. 对于前后导数相乘的行列上的不匹配，进行调整。（不是分子上加转置，就是分母上加转置），矩阵前后可以相乘。
3. 对于求导的每一项，简单的可以直接写出，不能直接写出的，进行查表。

2.深入了解和推导

• 如果想深入了解和推导每一步的过程：

  参见：https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html【关于求导的合辑】，这个博主是个大佬！

总结

1.个人操作

1. 首先掌握布局方式
2. 能根据表（不一定都记住），写出求导结果
3. 链式法则，可能会修改前后关系，调整符号表示
4. 想一步步推导出来，参见刘建平大佬https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html

2.其他

• 网上关于这方面的教材有：
  1. 张贤达《矩阵分析与应用》
  2. 《matrix vector derivatives for machine learning》
  3. 《The Matrix Cookbook》
  4. https://www.zhihu.com/question/【知乎上关于矩阵求导教材的讨论】
  5. http://psi.toronto.edu/
• 知乎：https://pan.百度.com/s/1jGFBSNk#list/path=%2F【来自知乎的一个分享，把百度换成baidu即可】

参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus

https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html【合辑】

https://blog.csdn.net/lcczzu/article/details/

https://www.pianshen.com/article//

https://blog.csdn.net/nomadlx53/article/details/

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