贝塞尔函数及其应用贝塞尔函数及其应用

题目： 贝塞尔函数及其应用

摘 要

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目 录

一、 起源1

(一) 贝塞尔函数的提出1

(二) 贝塞尔方程的引出1

二、 贝塞尔函数的基本概念4

(一) 贝塞尔函数的定义4

1. 第一类贝塞尔函数5

2. 第二类贝塞尔函数7

3. 第三类贝塞尔函数10

4. 虚宗量的贝塞尔函数10

(二) 贝塞尔函数的递推公式11

(三) 半奇数阶贝塞尔函数13

(四) 贝塞尔函数的零点14

(五) 贝塞尔函数的振荡特性16

三、 Fourier-Bessel级数16

(一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义16

(二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开17