李雅普诺夫稳定性_李雅普诺夫一法和二法的区别

编程小6 (5) 2024-07-13 16:23

Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说
李雅普诺夫稳定性_李雅普诺夫一法和二法的区别,希望能够帮助你!!!。

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在 {\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消附近的轨迹均能维持在 {\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消附近，那么该系统可以称为在{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消处李雅普诺夫稳定。

若任何初始条件在 {\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消附近的轨迹最后都趋近{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消，那么该系统可以称为在{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消处渐近稳定。指数稳定可用来保证系统最小的衰减速率，也可以估计轨迹收敛的快慢。[1]

李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。

历史[编辑]

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

连续时间系统下的定义[编辑]

给定一个完备的赋范向量空间E（例如{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}转存失败重新上传取消），设U是E的开子集。考虑一个自治的非线性动力系统：

{\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t_{0})=x_{0}}转存失败重新上传取消,

其中{\displaystyle x(t)\in U}转存失败重新上传取消是系统的状态向量，{\displaystyle f:U\rightarrow E}转存失败重新上传取消是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：f(a) = 0，则常数函数：x = a是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称a是动力系统的平衡点。

称点a李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果对每个{\displaystyle \epsilon >0}转存失败重新上传取消0">，均存在{\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}转存失败重新上传取消0">，使得对所有满足{\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }转存失败重新上传取消的{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消，只要{\displaystyle t\geqslant t_{0}}转存失败重新上传取消，就有{\displaystyle \|x(t)-a\|<\epsilon }转存失败重新上传取消。
称点a渐近稳定，如果点a李雅普诺夫稳定，且存在{\displaystyle \delta >0}转存失败重新上传取消0">，使得对所有满足 {\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }转存失败重新上传取消的{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消，{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a}转存失败重新上传取消。
称点a指数稳定，如果点a渐近稳定，且存在 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0}转存失败重新上传取消0"> 使得对所有满足{\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }转存失败重新上传取消的{\displaystyle x_{0}}转存失败重新上传取消，只要{\displaystyle t\geqslant t_{0}}转存失败重新上传取消，就有{\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}}转存失败重新上传取消。

它们的直观几何意义是：

平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里（距平衡点的距离不超过任意选择的正实数 {\displaystyle \epsilon }转存失败重新上传取消）。
渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。
指数稳定的意思是，状态函数不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}转存失败重新上传取消。称{\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}}转存失败重新上传取消为x的轨迹。如果对所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.}转存失败重新上传取消

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有y均成立，则称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且稳定，则x渐近稳定。不过，x有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

迭代系统下的定义[编辑]

离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。

给定度量空间{\displaystyle (X,d)}转存失败重新上传取消。设{\displaystyle f\colon X\to X}转存失败重新上传取消为一连续函数。称点{\displaystyle a\in X}转存失败重新上传取消为李雅普诺夫稳定，如果对任意{\displaystyle \epsilon >0}转存失败重新上传取消0">，都存在{\displaystyle \delta >0}转存失败重新上传取消0">，使得只要{\displaystyle x\in X}转存失败重新上传取消满足{\displaystyle d(x,a)<\delta }转存失败重新上传取消，就有

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .}转存失败重新上传取消

称点a渐近稳定，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在{\displaystyle \delta >0}转存失败重新上传取消0">，使得只要{\displaystyle x\in X}转存失败重新上传取消满足{\displaystyle d(x,a)<\delta }转存失败重新上传取消，就有

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0}转存失败重新上传取消

李雅普诺夫稳定性理论[编辑]

对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。

李雅普诺夫稳定性第二定理[编辑]

考虑一个函数 V(x) : Rn → R 使得

{\displaystyle V(x)\geq 0}转存失败重新上传取消只有在 {\displaystyle x=0}转存失败重新上传取消处等号成立（正定函数）
{\displaystyle {\dot {V}}(x(t))<0}转存失败重新上传取消（负定）

则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

上式中 {\displaystyle V(0)=0}转存失败重新上传取消是必要的条件。否则，{\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}转存失败重新上传取消可以用来“证明” {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}转存失败重新上传取消有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。

例如考虑以下的系统

{\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}\,}转存失败重新上传取消