复数 欧拉公式_复数与指数函数的转化

(1) 2024-06-29 17:23

Hi,大家好,我是编程小6,很荣幸遇见你,我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来,今天说一说
复数 欧拉公式_复数与指数函数的转化,希望能够帮助你!!!。

本文目录

  • 1虚数
  • 2复数
    • 共轭复数
    • 复数的概念与图像
    • 幅角
  • 3欧拉公式
    • 复数表示-代数式:
    • 复数表示-三角式:
    • 复数表示-指数式:
  • 4复数运算
    • 加法
    • 减法
    • 乘法
    • 除法
    • 开n次根号
    • 开复数次方
    • sin正弦与cosine余弦
      • 1定义
      • 2实部和虚部
        • 预备:双曲正弦函数和双曲余弦函数的计算公式
        • 正文
    • tan正切

1虚数

定义: − 1 = i i 2 = − 1 \sqrt{-1}=i\quad i^{2}=-1 1
=
ii2=1

− 2 = 2 i \sqrt{-2}=\sqrt{2}i 2
=
2
i

在数学里通常用i来代替sqrt(-1)
幂运算:

虚数的幂
i(-3) = i
i(-2) = -1
i(-1) = -i
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
in = in-4

2复数

复数就是形如(a+bi)的数。 z = a + b i z=a+bi z=a+bi
显然地,当a=0时则z为纯虚数,当b=0时z为实数。
所有复数的集合为C。相应地,有 R ⊂ ≠ C \mathbb R\underset{\neq}{\subset}\mathbb C R=C

共轭复数

复数z=a+bi,其共轭复数为a-bi。写作: z = a + b i z ˉ = a − b i z=a+bi\quad \={z}=a-bi z=a+bizˉ=abi
共轭复数有一些有趣的性质。
z ⋅ z ˉ = a 2 + b 2 z ·\={z}=a^{2}+b^{2} zzˉ=a2+b2

复数的概念与图像

复数 欧拉公式_复数与指数函数的转化_https://bianchenghao6.com/blog__第1张

建立一个平面直角坐标系,令 z = a + b i , 点 P = ( a , b ) z=a+bi,点P=(a,b) z=a+bi,P=(a,b) 则 z 与 O B → 有着一些相似之处。 则z与\overrightarrow{OB}有着一些相似之处。 zOB
有着一些相似之处。
∣ z ∣ = ∣ O B → ∣ = a 2 + b 2 |z|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{a^2+b^2} z=OB
=
a2+b2

幅角

如上图, z 的幅角即 θ , 记作 A r g z 如上图,z的幅角即\phase{\theta},记作Argz 如上图,z的幅角即θ
,记作Argz

Argz用弧度制表示,其值有无限个,为 θ + 2 n π ( n ∈ Z ) \theta + 2n\pi (n\in\mathbb Z) θ+2(nZ)
其中,当n=0时称为幅角主值,记作 a r g z , a r g z ∈ ( − π , π ] argz\quad,argz\in (-\pi,\pi] argz,argz(π,π]
当|z|=0时幅角没有意义。
a r g z = arctan ⁡ b a (a>0) argz=\arctan{\frac{b}{a}} \tag{a>0} argz=arctanab(a>0) a r g z = π 2 (a=0,b>0) argz=\frac{\pi}{2}\tag{a=0,b>0} argz=2π(a=0,b>0) a r g z = − π 2 (a=0,b<0) argz=-\frac{\pi}{2}\tag{a=0,b<0} argz=2π(a=0,b<0) a r g z = arctan ⁡ b a + π (a<0,b>=0) argz=\arctan{\frac{b}{a}} +\pi \tag{a<0,b>=0} argz=arctanab+π(a<0,b>=0) a r g z = arctan ⁡ b a − π (a<0,b<0) argz=\arctan{\frac{b}{a}} -\pi \tag{a<0,b<0} argz=arctanabπ(a<0,b<0)
以上为计算公式。

3欧拉公式

e i x = cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) e^{ix} = \cos (x)+i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x)
一个复数可以表示成多种形态。

复数表示-代数式:

z = ( a + b i ) z=\left(a+bi\right) z=(a+bi)

复数表示-三角式:

z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) r = ∣ z ∣ , θ = a r g z z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\quad r=|z|,\theta=argz z=r(cosθ+isinθ)r=z,θ=argz

复数表示-指数式:

z = r e i θ r = ∣ z ∣ , θ = a r g z z=re^{i\theta}\quad r=|z|,\theta=argz z=reiθr=z,θ=argz
三角式和代数式可以通过欧拉公式进行变换。

4复数运算

加法

z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) = r 1 e i θ 1 z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}} z1=a1+b1i=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) = r 2 e i θ 2 z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}} z2=a2+b2i=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
z 1 + z 2 = ( a 1 + a 2 ) + i ( b 1 + b 2 ) z_{1}+z_{2}=\left(a_{1}+a_{2}\right)+i\left(b_{1}+b_{2}\right) z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)

减法

z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) = r 1 e i θ 1 z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}} z1=a1+b1i=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) = r 2 e i θ 2 z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}} z2=a2+b2i=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
z 1 − z 2 = ( a 1 − a 2 ) + i ( b 1 − b 2 ) z_{1}-z_{2}=\left(a_{1}-a_{2}\right)+i\left(b_{1}-b_{2}\right) z1z2=(a1a2)+i(b1b2)

乘法

z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) = r 1 e i θ 1 z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}} z1=a1+b1i=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) = r 2 e i θ 2 z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}} z2=a2+b2i=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
z 1 z 2 = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right) z1z2=(a1a2b1b2)+i(a1b2+a2b1)
以下内容为简化计算时的本人所推附加公式

z 1 = a 1 − b 1 i z_{1}=a_{1}-b_{1}i z1=a1b1i z 2 = a 2 − b 2 i z_{2}=a_{2}-b_{2}i z2=a2b2i时,
z 1 z 2 = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i ( − a 1 b 2 − a 2 b 1 ) z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}\right)+i\left(-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right) z1z2=(a1a2b1b2)+i(a1b2a2b1)


z 1 = a 1 − b 1 i z_{1}=a_{1}-b_{1}i z1=a1b1i z 2 = a 2 + b 2 i z_{2}=a_{2}+b_{2}i z2=a2+b2i时,
z 1 z 2 = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + i ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right) z1z2=(a1a2+b1b2)+i(a1b2a2b1)


z 1 = a 1 + b 1 i z_{1}=a_{1}+b_{1}i z1=a1+b1i z 2 = a 2 − b 2 i z_{2}=a_{2}-b_{2}i z2=a2b2i时,
z 1 z 2 = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + i ( − a 1 b 2 + a 2 b 1 ) z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right) z1z2=(a1a2+b1b2)+i(a1b2+a2b1)

除法

z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) = r 1 e i θ 1 z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}} z1=a1+b1i=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) = r 2 e i θ 2 z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}} z2=a2+b2i=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
z 1 z 2 = z 1 z ˉ 2 z 2 z ˉ 2 = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + i ( a 2 b 1 − a 1 b 2 ) a 2 2 + b 2 2 \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\=z_{2}}{z_{2}\=z_{2}}=\frac{\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} z2z1=z2zˉ2z1zˉ2=a22+b22(a1a2+b1b2)+i(a2b1a1b2) = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) a 2 2 + b 2 2 + ( a 2 b 1 − a 1 b 2 ) a 2 2 + b 2 2 i =\frac{\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{\left(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}i =a22+b22(a1a2+b1b2)+a22+b22(a2b1a1b2)i

开n次根号

z = a + b i = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = r e i θ z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta} z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=reiθ z n = [ r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) ] 1 n \sqrt[n]{z}=\left[r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right]^{\frac{1}{n}} nz
=
[r(cosθ+isinθ)]n1

这个算式的解有n个,为: ω k = r 1 n ( cos ⁡ 2 k π + θ n + i sin ⁡ 2 k π + θ n ) ( k=0,1,2,3,...,n-1 ) \small{\omega_{k}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{2k\pi+\theta}{n}+i\sin\frac{2k\pi+\theta}{n})\quad\quad\quad\quad\quad}\tag{\tiny{k=0,1,2,3,...,n-1}} ωk=rn1(cosn2+θ+isinn2+θ)(k=0,1,2,3,...,n-1)

开复数次方

n z , n ∈ R = n a n b i n^z,n\in\mathbb R=n^{a}n^{bi} nz,nR=nanbi

sin正弦与cosine余弦

1定义

复数域C下正弦函数:
sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sinz=2ieizeiz余弦函数:
cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} cosz=2eiz+eiz
定义同时满足实数范围。即当z变为一个实数x时,上述两式所得结果符合实数域下正余弦。可以用欧拉公式辅助证明。证略。
复数满足两角和公式
同样利用欧拉公式。证略。

2实部和虚部

预备:双曲正弦函数和双曲余弦函数的计算公式

双曲正弦(sinh)的计算公式:
sinh ⁡ x = e x − e − x 2 \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} sinhx=2exex
双曲余弦(cosh)的计算公式:
cosh ⁡ x = e x + e − x 2 \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} coshx=2ex+ex

正文

z = a + b i z=a+bi z=a+bi sin ⁡ z = sin ⁡ ( a + b i ) = sin ⁡ a cos ⁡ b i + cos ⁡ a sin ⁡ b i \sin z=\sin{(a+bi)}=\sin a\cos bi+\cos a\sin bi sinz=sin(a+bi)=sinacosbi+cosasinbi cos ⁡ z = cos ⁡ ( a + b i ) = cos ⁡ a cos ⁡ b i − sin ⁡ a sin ⁡ b i \cos z=\cos{(a+bi)}=\cos a\cos bi-\sin a\sin bi cosz=cos(a+bi)=cosacosbisinasinbi
其中的cos bi和sin bi根据复数正弦函数的定义可以分别化为:
sin ⁡ b i = e − b − e b 2 i = i e b − e − b 2 = i sinh ⁡ b \sin bi = \frac{e^{-b}-e^{b}}{2i}= i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}=i\sinh b sinbi=2iebeb=i2ebeb=isinhb cos ⁡ b i = e − y + e y 2 = cosh ⁡ b \cos bi=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\cosh b cosbi=2ey+ey=coshb
将结论代入可得最终结果。
sin ⁡ z = sin ⁡ ( a + b i ) = sin ⁡ a cosh ⁡ b + i cos ⁡ a sinh ⁡ b \sin z=\sin{(a+bi)}=\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b sinz=sin(a+bi)=sinacoshb+icosasinhb cos ⁡ z = cos ⁡ ( a + b i ) = cos ⁡ a cosh ⁡ b − i sin ⁡ a sinh ⁡ b \cos z=\cos{(a+bi)}=\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b cosz=cos(a+bi)=cosacoshbisinasinhb

tan正切

tan ⁡ ( z ) = sin ⁡ ( z ) cos ⁡ ( z ) \tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)} tan(z)=cos(z)sin(z)


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