向量的内积(点乘)

定义

概括地说，向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

向量内积的性质：

a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. (正定性)

a·b = b·a. (对称性)

(λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. (线性)

cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).

|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.

向量内积的几何意义

内积(点乘)的几何意义包括：

表征或计算两个向量之间的夹角

b向量在a向量方向上的投影

有公式：

推